1. เศษส่วนและการเปรียบเทียบ
เศษส่วนคือจำนวนที่เขียนในรูป a/b โดย b ≠ 0 เรียก a ว่า "ตัวเศษ" และ b ว่า "ตัวส่วน" — พบได้ทุกที่ในชีวิตจริง ทั้งน้ำหนัก ส่วนสูง สูตรอาหาร อัตราดอกเบี้ย
เศษส่วน = ส่วนของทั้งหมด — ½ ของพิซซ่า, ¾ ของพิซซ่า, ⅓ ของพิซซ่า
เศษส่วน ab โดย b ≠ 0
• a = ตัวเศษ (numerator) — จำนวนส่วนที่เลือก
• b = ตัวส่วน (denominator) — จำนวนส่วนทั้งหมด
เศษส่วนอย่างต่ำ: ตัดทอนจน ห.ร.ม. ของตัวเศษกับตัวส่วน = 1
เศษเกิน: ตัวเศษ ≥ ตัวส่วน เช่น 85 → จำนวนคละ 135
การเปรียบเทียบเศษส่วน:
• ตัวส่วนเท่ากัน → เทียบตัวเศษ: 38 > 18 เพราะ 3 > 1
• ตัวส่วนไม่เท่ากัน → ทำตัวส่วนให้เท่ากัน (ใช้ ค.ร.น.) แล้วเทียบตัวเศษ
• บวก > ลบ เสมอ | ลบทั้งคู่ → เขียนตัวส่วนเป็นบวกก่อน
ตัวอย่าง — เปรียบเทียบ 57 กับ 34 ปานกลาง
โจทย์: 57 กับ 34 จำนวนใดมากกว่า?
ผิดบ่อย: เปรียบเทียบเศษส่วนโดยไม่ทำตัวส่วนให้เท่ากัน
57 ไม่ได้มากกว่า 34 เพียงเพราะ 5 > 3 — ต้องทำตัวส่วนเท่ากันก่อน!
2. การบวกและการลบเศษส่วน
แนวคิดหลัก: บวก/ลบเศษส่วนได้เฉพาะเมื่อตัวส่วนเท่ากัน — เหมือนบวกผลไม้ต้องเป็นชนิดเดียวกัน ถ้าไม่เท่า ต้อง "แปลงหน่วย" ให้เท่ากันก่อน (ใช้ ค.ร.น.)
กฎบวก/ลบเศษส่วน:
• ตัวส่วนเท่ากัน: ac ± bc = a±bc
• ตัวส่วนไม่เท่ากัน: ทำตัวส่วนให้เท่ากัน (ค.ร.น.) แล้วบวก/ลบตัวเศษ
• จำนวนคละ: เปลี่ยนเป็นเศษเกินก่อน
ตัวอย่าง: 35 + 56 → ค.ร.น. ของ 5, 6 = 30
= 1830 + 2530 = 4330 = 11330
ตัวอย่าง — หา 38 + 18 พื้นฐาน
โจทย์: หา 38 + 18 = ?
ตัวอย่าง — บวกเศษส่วนลบ ยาก
โจทย์: หา (−23) + (−310) + (−415)
1 ค.ร.น. ของ 3, 10, 15 = 30
2 = −2030 + (−930) + (−830)
3 = -20-9-830 = −3730
✅ (−23) + (−310) + (−415) = −1730
จำง่าย: บวก/ลบเศษส่วน 3 ขั้น → ① ทำตัวส่วนเท่ากัน ② บวก/ลบตัวเศษ ③ ทำเศษส่วนอย่างต่ำ
3. การคูณและการหารเศษส่วน
คูณเศษส่วน = หาพื้นที่ทับซ้อน: นึกภาพตารางสี่เหลี่ยม — ระบายแถว ระบายคอลัมน์ แล้วนับช่องที่ทับกัน!
หารเศษส่วน = นับว่าแบ่งได้กี่ส่วน: มีช็อกโกแลตอยู่เท่านี้ แบ่งให้คนละเท่านี้ ได้กี่คน?
คูณเศษส่วน — 23 × 34 พื้นฐาน
โจทย์: หา 23 × 34 = ?
หารเศษส่วน — 23 ÷ 16 ปานกลาง
โจทย์: หา 23 ÷ 16 = ?
จำง่าย: คูณ → ระบายตาราง นับช่องทับกัน | หาร → กลับตัวหาร แล้วคูณ
ผิดบ่อย: ลืมเปลี่ยนจำนวนคละเป็นเศษเกินก่อนคูณ/หาร
223 ≠ 2×23 — ต้องเปลี่ยนเป็น 83 ก่อน!
4. ทศนิยมและการดำเนินการ
ทศนิยมคืออะไร: จำนวนที่มีจุดทศนิยมคั่นระหว่างส่วนจำนวนเต็มกับส่วนทศนิยม เช่น 3.14 หมายถึง 3 เต็ม กับอีก 14 ส่วนร้อย
ค่าสัมบูรณ์|−3.5| = 3.5 — ระยะจาก 0
ตรงข้ามตรงข้ามของ 2.7 คือ −2.7
เปรียบเทียบเทียบหลักซ้ายไปขวา ทีละตำแหน่ง
บวก/ลบทศนิยม: จัดหลักให้ตรง แล้วใช้กฎเดียวกับจำนวนเต็ม
ตัวอย่าง: 15.09 + 12.51 = 27.60
ตัวอย่าง: (−127.5) + (−29.497) = −156.997
คูณทศนิยม: คูณเหมือนจำนวนเต็ม แล้วนับตำแหน่งทศนิยม
จำนวนตำแหน่งผลคูณ = ตำแหน่งตัวตั้ง + ตำแหน่งตัวคูณ
ตัวอย่าง: 0.23 × 0.5 = 0.115 (2+1 = 3 ตำแหน่ง)
หารทศนิยม: ทำตัวหารเป็นจำนวนเต็ม (×10, ×100) แล้วหารปกติ
ตัวอย่าง: 4.732 ÷ 0.07 → 473.2 ÷ 7 = 67.6
ตัวอย่าง — 9.32 × 2.4 พื้นฐาน
โจทย์: หา 9.32 × 2.4 = ?
จำง่าย: คูณทศนิยม → "คูณเลขแล้วนับจุด" | หารทศนิยม → "เลื่อนจุดให้ตัวหารเต็ม"
5. ทศนิยมซ้ำ & จำนวนตรรกยะ
ความเชื่อมโยง: เศษส่วนทุกจำนวนเขียนเป็นทศนิยมได้ (อาจซ้ำ) และทศนิยมซ้ำทุกจำนวนเขียนเป็นเศษส่วนได้ — จำนวนแบบนี้เรียกว่า "จำนวนตรรกยะ"
เศษส่วน ↔ ทศนิยม:
• ตัวส่วนเป็น 10, 100, 1000: ง่าย เช่น 14100 = 0.14
• ตัวส่วนอื่น: คูณให้ตัวส่วนเป็น 10/100/1000 หรือตั้งหาร
ตัวอย่าง: 2025 = 80100 = 0.80
ตัวอย่าง: 23 = 0.666... = 0.6̇ (ทศนิยมซ้ำ)
จำนวนตรรกยะ = จำนวนที่เขียนในรูป ab (a, b เป็นจำนวนเต็ม, b ≠ 0)
หรือจำนวนที่เขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้
ครอบคลุม: จำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยม ทศนิยมซ้ำ ทั้งหมด
ปิดการบวกa + b เป็นตรรกยะเสมอ
ปิดการคูณa × b เป็นตรรกยะเสมอ
สลับที่a + b = b + a, a × b = b × a
เปลี่ยนหมู่(a+b)+c = a+(b+c)
เอกลักษณ์a + 0 = a, a × 1 = a
ผกผันa + (−a) = 0, a × 1a = 1
แจกแจงa(b+c) = ab + ac
ผิดบ่อย: ทศนิยมที่ไม่ซ้ำและไม่รู้จบ (เช่น π = 3.14159...) ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ!
จำนวนตรรกยะ = ต้องเป็นทศนิยมรู้จบ หรือทศนิยมซ้ำ เท่านั้น
สรุปสูตร — เศษส่วน ทศนิยม ตรรกยะ
เปรียบเทียบทำตัวส่วนเท่ากัน แล้วเทียบตัวเศษ
บวก/ลบตัวส่วนเท่ากัน → บวก/ลบตัวเศษ
คูณเศษ×เศษ ส่วน×ส่วน
หารกลับตัวหาร แล้วคูณ
คูณทศนิยมนับตำแหน่ง = ตั้ง + คูณ
หารทศนิยมเลื่อนจุดให้ตัวหารเป็นจำนวนเต็ม
ตรรกยะab (b≠0) หรือ ทศนิยมซ้ำ